Nie ma czegos takiego jak "licenziamento per motivi familiari".
Licenziamento to licenziamento. Wystarczy dac odpowiednie preavviso (czyli w Twoim przypadku 15 dni) i nie trzeba sie nikomu tlumaczyc.
Jesli chcesz sie sama zwolnic (dimissioni), to, zeby miec szanse na zasilek, musi to byc przez "giusta causa" (np. lamanie prawa przez pracodawce).
Wyjscia sa dwa: pogadac z pracodawca i poprosic, zeby Cie zwolnil albo poczekac az babcia umrze (wiem, ze to brzmi okrutnie).
Powodzenia!